永福╉留痕

三角函数内容规律 LlU w$~Ft  
\WYM\  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. xG~`P0{  
GDBWW1"(  
　　1、三角函数本质： 5P;|-u-:  
E<HKp xSg  
　　三角函数的本质来源于定义 #$%"l_/]l  
BXf-W?  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 ;,NDWTPp  
$8H*hX'  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 X&YF-up
 
Yl(_M69L  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： )scEZ9^  
/hii,g  
　　推导：
~f2o  
>n3G>JZ^  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 .kZ[!a*  
mJO*v`Yr  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) "9^'|y.k  
PPB3q  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0)
'#kDY S6  
)%X]}[tVC  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 Ntj%wS%S#  
~(Kr
j   
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） FLI3?1N?T  
Q:aOyS<bP  
　　[1] be,Sx `!1  
sVeq
;*c  
　　两角和公式 k:f +$25  
5#VR[R%qy  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB i(4&d-!+  
d,3x
-~M  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ~HIl9KE(  
yi[ -Z  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB vCA<&5)  
Km)\vL,7  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB BkrX,~R  
#>X <Ou8  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) I/I,m*  
B ws4$H0K^  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) Eon9(6?@  
l V\COM>N  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  O"^=@<  
[eo]VK*  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ~/_IZMA  
_|6R'j 1I  
倍角公式 j7`Iuc/  
a|PT4"IoP  
　　Sin2A=2SinA•CosA Pw!0.F4/1  
$Nk"\&HCn  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ,y?;)bbx  
"On
H,I  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） !O.# (Lq*  
!lYept
  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 7Hdd,nTz  
h
UE.2&}V  
三倍角公式 !Nmx+I5OX  
J}0l, 1  
　　 '|+5p1b;!  
x3<=IRI  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)
nVf'}_1  
XayZrTr5|w  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ? Gt  
4*E07Pn5K  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) RaPIT+5  
<lFIU]*5  
三倍角公式推导 v`V1~<Q  
>SD_4gm1U  
　　sin3a P_XNb  
2;>qGYmn^U  
　　=sin(2a+a) /J{2)j#X4  
yR&dPA#  
　　=sin2acosa+cos2asina eo;~ 5:-O  
T6-zXp}  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina  ]rg f  
PG c` '`  
　　=3sina-4sin³a H*{3)}~\z  
6?h<r6_3O  
　　cos3a 6m~\Bi\
N  
O^OyvT  
　　=cos(2a+a) C0;+wd^}  
Re]B~+8Ds  
　　=cos2acosa-sin2asina =Z1(  
'|VZ_E,  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa qp*JG? Z  
kTb]2_%  
　　=4cos³a-3cosa d(fov5BWWX  
[q)3dl=O  
　　sin3a=3sina-4sin³a qA'EAT5#  
g"q0:;  
　　=4sina(3/4-sin²a) C=c(8p  
rhnDJ 6 9*  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] -8@##qd2  
hTL@rLqE &  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) @]Ajx  
ZTx
'#J  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 6oR7R fS  
d~qFCfc  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] Sb,e.Pv  
@1) m~xk  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Ij VzYF~?  
2k_jA?  
　　cos3a=4cos³a-3cosa xTt=*qA
 
%=do?O  
　　=4cosa(cos²a-3/4) >C8BH+S]6  
eT"r(mCD  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ;X.k'z?D  
duvAXCc  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Qo Dm  
+OE{& gl  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 1D[g} 6
  
 PTw$  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 4{x[JC'  
SDK%O}GIB  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ;uoAB  
h4vlPo\z  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] N~;X;z(p4  
s UIWPi  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 89U{r2  
ps Kiw
W  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 3g#6tE[y  
g|2VN o  
　　上述两式相比可得 8-OJ]$;X  
,BCuJI  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) c(h\XbEZg  
c
g i`p+Q  
半角公式 yN8Bl  
I1B%y zT  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);
mYe!w=  
)w1WmL]>  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. XWAl[S]-  
Sgz\] K8  
和差化积 aiX)g8t  
?15~D*~  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 8ezl`   
k F h gl  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] @Sqxb8  
FAr?J  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] &'=8:\=  
7F8!Nc*  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] wQ 8+d  
}@E,B]xq  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 7g[5S<M>  
P851gu# q  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) "@8 Is  
"s~7lX  
积化和差 <WXt]cJa  
Rk?"7jjx  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 3_/?I_  
3@5'HF:  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 4qZ$QN40{  
>.c,HLH  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] <KNqxp<  
~v.(85_N&  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Rh9RclQ  
nT;#RjI+  
诱导公式 >$4f|=  
)qQ3~)[  
　　sin(-α) = -sinα O# _^ zh  
b'F?fu]q  
　　cos(-α) = cosα >ihb;Oj8  
TmszT5u1  
　　sin(π/2-α) = cosα H?c^wDfzd  
x? CAr&!?  
　　cos(π/2-α) = sinα Yo$dsJz!?A  
GMv8{#e$  
　　sin(π/2+α) = cosα IiA71(ue  
2bkvrq-sU  
　　cos(π/2+α) = -sinα ?VAWir$w  
0^*J0a{  
　　sin(π-α) = sinα :2c-A(  
* $6OU>1  
　　cos(π-α) = -cosα
+[g }%  
E=] ?m  
　　sin(π+α) = -sinα lSdjw@X  
ta|i( pEz  
　　cos(π+α) = -cosα X5i 6,hL@  
`TpD].UU  
　　tanA= sinA/cosA iJcOCc'7q(  
Kb(x|{(o  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ^HwNe`'  
,$d5~u  
　　tan（π/2－α）＝cotα wQ78G6  
fVG<ps  
　　tan（π－α）＝－tanα Ymf`((  
v/9jJN  
　　tan（π＋α）＝tanα t.7SAG0{y  
p6 o%77FZo  
万能公式 1;<gCWA  
nf(,<=;C  
　　 juh#n;Q  
V Gj.]L<D  
其它公式 9"0gS(K@  
ySyy,xhP  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 vfL EMci-  
d ' q3  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 5k1(W%@  
cuSQ`  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 qx}YZ  
;QJ5$:l  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 k>4)EG[*  
UZ)|5hQ  
　　对于任意非直角三角形,总有 v<9F8dKs  
-W!69R/oQ  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC p={W3`w  
n]TG\ =S :  
　　证: u$3yEAu8  
wV/I|(j  
　　A+B=π-C x{ /$[o  
FyAJ\
 
　　tan(A+B)=tan(π-C) t@`s57  
}|S=
 
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) (PCW[K  
]k,8qS-[  
　　整理可得 bBQI'w  
cw{9i,r  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Rk=NG PsQn  
m-Q)+4  
　　得证 "S4IGll=  
zQ[RF}~5  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 "$_0H!@,D  
55([yZ  
其他非重点三角函数 vFUc R0<  
udA|v80_  
　　csc(a) = 1/sin(a) 
G P)>  
9bfh_&7  
　　sec(a) = 1/cos(a) X,U;"vv  
3{0u,nDm  
　　 ;$Z CBlW*h  
q&H[  
双曲函数 W%oWYgA  
! gMUcH  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 0FpEX*?k&  
qR1:Sky"U  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 pXxBL  
Vf!(J0)  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a)
Ka!J\z}  
2$?hB.Yq0  
　　公式一： 40c-k,l  
/ i*;)  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： L }o`D!V2  
2| P`/^c  
　　sin（2kπ＋α）= sinα GB$ /W  
wyw~BG{ 1  
　　cos（2kπ＋α）= cosα BJ <)CW  
JBH$v_  
　　tan（kπ＋α）= tanα t!oG.R_  
md/(TOS'h  
　　cot（kπ＋α）= cotα %WN}@_ |  
 ~$n}kb  
　　公式二： b]El[{wpM  
<\wO\'1  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： u uDfI  
|ST(Y`L #D  
　　sin（π＋α）= -sinα S=- -^.  
o >-GH'd#  
　　cos（π＋α）= -cosα 35cLf". ,V  
'9/xPt)X  
　　tan（π＋α）= tanα -5Nc:&V=V  
%_reJ(VXA  
　　cot（π＋α）= cotα nU>s<L  
A.+q%EqPo  
　　公式三： [f"##v  
MlOsfbt$  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： &#v)Afj  
nUGPp8xg0  
　　sin（-α）= -sinα h~#E6jvKa  
:!I5sYS  
　　cos（-α）= cosα R1`,
882  
ab~^9`b$  
　　tan（-α）= -tanα TVn N oz  
";59]\i7a[  
　　cot（-α）= -cotα 9sV)l a^8  
f9Or1v'  
　　公式四： {HF9Yz<[  
&9YHSD  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： KDd"#I/m  
zj,8@}@/4  
　　sin（π-α）= sinα 8t}M^/!vG  
:{%ECR]  
　　cos（π-α）= -cosα =A-n'sh!  
dqE761{  
　　tan（π-α）= -tanα { j:P\iO  
I
P(+80#  
　　cot（π-α）= -cotα >~"O&N(4x  
)?KsAXD]  
　　公式五： b]nse`[6L{  
Vn
uP>/  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： H1I
rrC  
kM|%ppq5  
　　sin（2π-α）= -sinα bvER
H)E  
ZoaevL  
　　cos（2π-α）= cosα N4~/?f:D  
<ydo?yG&  
　　tan（2π-α）= -tanα vOR
:
6D  
@Lc7J8  
　　cot（2π-α）= -cotα mx%Ck(?7>  
+HywzN  
　　公式六： {S,sP  
rz4^fOpEF|  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 10p9(*:S  
-?T}P`;r  
　　sin（π/2+α）= cosα `OJk HR  
E~Q_N_C  
　　cos（π/2+α）= -sinα N';M+ E%L  
EEf{o
jw  
　　tan（π/2+α）= -cotα ^t]V31m  

j@=jig 4q  
　　cot（π/2+α）= -tanα %R/nElnw  
E 9b jn)h  
　　sin（π/2-α）= cosα 3^C^k3)|,Y  
#"o'Ff6  
　　cos（π/2-α）= sinα )-Ru&/  
{8#85h<u  
　　tan（π/2-α）= cotα J_ ,eR   
ZUX6febb<  
　　cot（π/2-α）= tanα Z{L~C=  
9}$H
q  
　　sin（3π/2+α）= -cosα *GFtZ/[-
 
UWAq%\f#  
　　cos（3π/2+α）= sinα zGJwy?Qb  
j% Jb2a`  
　　tan（3π/2+α）= -cotα s?./osK(1K  
56*w8xdy  
　　cot（3π/2+α）= -tanα t0rCf9K  
XB5.y  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ^#2Yo  
VmkD[ H  
　　cos（3π/2-α）= -sinα VJg >4v3!  
d@)S/XeJ
w  
　　tan（3π/2-α）= cotα > 5Z[ 9WW  
dX|}h`i  
　　cot（3π/2-α）= tanα *>I |iKS  
wc-XM^"u  
　　(以上k∈Z) -UJ<3i#%  
v;0|VarJ  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 [-g0<+&\  
#rDL9 n^  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = =xF<xK0  
m)!l
>  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } `$S[bBUK  
vM<[JVt"s  
　　√表示根号,包括{……}中的内容