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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 *u2d)C~dH  
|B}|W!= u  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ?Qa\iF_V  
SP.$3<?5>  
　　1、三角函数本质： spe!g7%  
A'R}`WN  
　　三角函数的本质来源于定义 -z!GOt'sR  
R,d-~  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 k<dEu][  
Niiv]WX+*2  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 5-93eeKT  
E;Uep &  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： mH^yd0  
gD y;ge  
　　推导： i(nb* +'C  
&&lX.8pl  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 :>IF9uJ5  
Pou?28&  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) }_f^  
Vp{Lb|]W  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) t`k %'9  
^uzILd-  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 'b wP'  
 aMH6ay."  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） :A2|S,-[7  
2b_zxkcv  
　　[1] e*sgiz<!  
rbLCVfaj  
　　两角和公式 iW_q'H0 Z  
Y0Ahx  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB #EEdlNnc  
/I pV\)  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  {-f1Eg.<K  
8-Oi26n  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cK^H:5U_  
1~ ,?1 ]  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB humA.( c@  
|x;2](I`  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) M:>KN2`  
e:U`?Tt2L  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) Hf*jGMrFa  
v@&5Q *K1  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  s9l Kqeh  
P7h>eF  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) (9Qk1zm{V  
0fF8~c"  
倍角公式 o8-QV  
18O R3D/  
　　Sin2A=2SinA•CosA m$[/J/  
( '.W3  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 XF5&Q6g>  
Y9%F2|*  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） _zEY A3o  
fB~ 6G[ U(  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） X{'b$)1  
D{BB*$i{*G  
三倍角公式 =S)68{i@  
F^zzC$m  
　　 eU5fgJ^  
g]Mq}8D  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) R 8C>@  
'W2Q;&  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) "H?  
P$z%/IW}  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ftzsf($\  
x|' E  
三倍角公式推导 0nAXa~$  
ldVB;h,w  
　　sin3a $6^r1#UF>  
?H<ziG  
　　=sin(2a+a) klT!( ~f  
X'3(I}J%;  
　　=sin2acosa+cos2asina `(K1~w>x  
|/,)2G2m  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina >5?_. WxB.  
yX< z#  
　　=3sina-4sin³a I+9Mz(mH;  
N9h.qB+C  
　　cos3a ESX_6eO  
hhj<pin3  
　　=cos(2a+a) GJgXsol  
1 6AE?(3E}  
　　=cos2acosa-sin2asina ENK_ %Y  
^8INkYGL  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa F]mvNkt0  
WuClJ*NR  
　　=4cos³a-3cosa @z/A)G@  
?R,e"Q  
　　sin3a=3sina-4sin³a ]eFM Z $0O  
~$>3J"Z  
　　=4sina(3/4-sin²a) u((9DU  
5-2w{ek  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 4/M<w@my  
cY1v uv  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) #Z9,F * M  
t4xm02zJ\  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)  GYz.  
5^ 66""  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ,Ar G[r/  
~yP}4}9|  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) W,gWT5  
UCjp`yPL  
　　cos3a=4cos³a-3cosa hY.kl3  
CuxDKjm  
　　=4cosa(cos²a-3/4) whKtT^mMX  
#{.uTQ  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] (OkmD  
jb&j yO  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ^|)"t^c$<  
i MJB-U(  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ?##C!w#a  
P.]r']i  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} m#LjH?;Mu"  
%:;L+hs+  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 9]LW$L*IY  
/h$$vaC  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]  %VkiJ  
J4 J [  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] .Ajy7f]!  
}N1L^y.?  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 6m!GUQw{Nh  
\ ,LFX  
　　上述两式相比可得 ]|Gd$e  
w!S(} _aH  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) i9FPw  
N Mdz  
半角公式 c<r?OW9<1  
T>7QWrAmp  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); +^eY}]I.j  
s-8WnR?[  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. X+Cg#t6\  
<Bk[iWHg[  
和差化积 " )[Aq0  
_\U+Dw %,\  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] bAo_q`Zn$  
*{JI4]j T  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] -;h '3x;  
=~n)^aSqz  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] as,mlOf  
SUCW  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] bg.I . J  
SVz W/D/fl  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) Jn/36e^yt  
eY u*(0RY  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ;yyyO3  
F:(K1E  
积化和差 wY16;9  
"IJ4kO?9  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 5.gBLjE  
 3u]O}q-i  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 5a7)[ X7U  
+TZ6#ajAF  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] "?#S9k-(   
?9CC>gj  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ZK<ORTH=  
OT:9${X|  
诱导公式 _AhE-.i  
u &k8*R~  
　　sin(-α) = -sinα 4<5"4r  
+8> pJcuF  
　　cos(-α) = cosα 22 ;P)&  
/tA;SF]c  
　　sin(π/2-α) = cosα {4,%d   
)8"llN `  
　　cos(π/2-α) = sinα 5ECf|l\m  
D(C?m`  
　　sin(π/2+α) = cosα 5t}*Wzt'  
+F"8h}Yf+*  
　　cos(π/2+α) = -sinα [wO2]eAp3  
wMDnv}*  
　　sin(π-α) = sinα elWmzvP _  
K{s q<(KnH  
　　cos(π-α) = -cosα O@.hW y!5  
U3sae\ON  
　　sin(π+α) = -sinα $!l!z'SX  
0<$8Lxz;  
　　cos(π+α) = -cosα 0Isk})[`  
B .mUyiH8  
　　tanA= sinA/cosA 4m;U}ln  
W4x ;,T1G  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 5Q <|q  
or1D,B  
　　tan（π/2－α）＝cotα r7Ym8(2A  
$L;SK NT  
　　tan（π－α）＝－tanα 5;)G:IQd  
_9,Ph\ ^  
　　tan（π＋α）＝tanα : >`/f,  
Lm6 ^&  
万能公式 ")G*c*c  
A>[B1cRi  
　　 W|I/ T*0  
YBdUi -  
其它公式 AAywDX  
jV9$ MC  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ,Y]i} %  
(rlo <L,  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 R_r'_F  
,u?z)  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 t9c4:)Gm  
!H%.{G@   
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 m' sdkSr0  
mg;^U_D  
　　对于任意非直角三角形,总有 pdgjpWj  
>6BUO-  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ye/#-_X  
S[6RV>1  
　　证: *{5SL{94  
`v[[=-]YU6  
　　A+B=π-C 1&WU/  
^CQ0$dX  
　　tan(A+B)=tan(π-C) b ;9 J`c  
g+n5nSl  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) /;E[,P  
Qgd w hz  
　　整理可得 0RjjU4D'  
m5cF'ouH-9  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC FRXJg.iP}  
7j< }{0H  
　　得证 H6RKf`( p  
Q!Y9fk}6r  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 W<v[^fiI   
Wu/)c1<  
其他非重点三角函数 9!.;2fn  
y!RluU^e  
　　csc(a) = 1/sin(a) :^=guC<   
] j 2'h~}  
　　sec(a) = 1/cos(a) ?ylU[Go  
x<_[ *  
　　 PSo^[*;  
.u z/{J@x  
双曲函数 7u 0  
zq\9YLfw  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 31a"%5/T  
V%0Jo&Dw  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 c*sryOQ*  
nOtwUb(xa  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) "U6*0w  
[Y( Ta}Pi  
　　公式一： #C eYqv  
2Pc&.d`}  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： |-iq@`mg  
gPV3?Ec%  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ~~.0"xgHVS  
<,O!`oa  
　　cos（2kπ＋α）= cosα fPI20q  
L|zfo]gUV  
　　tan（kπ＋α）= tanα rH'66VFdN+  
~h}"\ ((/d  
　　cot（kπ＋α）= cotα :VnDtsRKj  
% SNyC!`  
　　公式二： &r45f*U  
zyThFU6l.z  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： NF%3^s(4  
d`!~K-  
　　sin（π＋α）= -sinα gg?w8YiM  
pIy52G\  
　　cos（π＋α）= -cosα Z`r'Eo3  
B1O-L 6  
　　tan（π＋α）= tanα OaI;/$6  
A64 U*F-  
　　cot（π＋α）= cotα ?no`1k  
T#gEA':G?  
　　公式三： +4K ;  
h ja Q\6  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： K t! P*4  
g!O r^{#-0  
　　sin（-α）= -sinα _$\(0=  
aT0&6V  
　　cos（-α）= cosα }uv!)Qa@  
;~@.wQQH  
　　tan（-α）= -tanα ]qlGF c :I  
SQO }(k|^  
　　cot（-α）= -cotα 3&84&y"V  
:pQ),b!o  
　　公式四： W6heTf  
%+=UdZ  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： j(sg47&  
)b,x+KyR  
　　sin（π-α）= sinα !KXCT}H   
hW(.]E)+  
　　cos（π-α）= -cosα =Oz=:{M6  
+:'70D[E  
　　tan（π-α）= -tanα LLQ.}\0  
]TX%$t*U  
　　cot（π-α）= -cotα N08Rs:WXE6  
gZEYr?2  
　　公式五： |8 m"pC~  
4UE{cKpl  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ~EGyX0"j  
;h0W2Sf  
　　sin（2π-α）= -sinα 4m`E3; ]m  
]k9dI[r[f  
　　cos（2π-α）= cosα Ild4Zl|q:  
.jWu'&/I!  
　　tan（2π-α）= -tanα  `5=nNVO  
}an i'/y  
　　cot（2π-α）= -cotα {N!q)[-  
, E@iJ$}&  
　　公式六： JDWHW^}  
}0 BY?  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： hjOL1\14e(  
S&9v @O-  
　　sin（π/2+α）= cosα : tplCJJ3  
Y|1oow  
　　cos（π/2+α）= -sinα <VI D55({C  
vTbaP:WVJ  
　　tan（π/2+α）= -cotα /=0)V4h  
c @=b vh  
　　cot（π/2+α）= -tanα {"b#hvDX  
h"#7X}{Iu  
　　sin（π/2-α）= cosα a?4$<.  
{e|D~3w>  
　　cos（π/2-α）= sinα hLAFXCDt  
OBF !b}}s  
　　tan（π/2-α）= cotα N}geuR9 Q  
1A)Y~B  
　　cot（π/2-α）= tanα nBdD|u,  
]V17Pef  
　　sin（3π/2+α）= -cosα V |3,B*  
ss[tZ>0z9  
　　cos（3π/2+α）= sinα i?m,JCN_2  
bYKo:sN  
　　tan（3π/2+α）= -cotα !Xd/2WIfn  
#w;S6s!  
　　cot（3π/2+α）= -tanα : kRRef?+  
6Td#$j%~  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 0tdAm9 )  
4'u}PG#8  
　　cos（3π/2-α）= -sinα yA V3^9{}}  
02z?9sRx  
　　tan（3π/2-α）= cotα ],)8u7NRq  
!7UtUGc<6  
　　cot（3π/2-α）= tanα 50Zm~>  
p:=V:O4D  
　　(以上k∈Z) -p%q< w&t  
|<YOM\-?  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 W,xCP['h  
'X{a=]d  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = X//}{,c  
SaQEhWY_  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Otl(N_A[  
'1Q%XYwI  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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