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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 [;n2ms  
;Hf{ fP$  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. %AcH^5  
=R"F{tZJk  
　　1、三角函数本质： <pbsd;[  
*uq"47  
　　三角函数的本质来源于定义 zw}x5 j  
Q\0h4v8M?%  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 O2$T0T6[  
e vJ!]tT8U  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 G1eH\wT"|  
XdB]yTBo<  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： "yZcY+y  
9EU<A r) P  
　　推导： ]2B].c  
Ob~BzgaVoZ  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 oit^.$zLj  
6e#H/\  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Nm`R/J^k,  
%t 1);)VW  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) X\]zN|^?  
>1QMrh5zQ#  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 f4NN.{VV  
pvOBxIsU  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） LDIrc|a}  
4k!W[-xZ  
　　[1] *m~6n gr  
FVgMx@r  
　　两角和公式 aKsrf${\  
o*9e?g<  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ;Clb!8o#  
+eNe,  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  :R]vV  
U Q%>Uu ^h  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB +:kwpT|J^  
mFeJ5]G[IC  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB sh7DkOU6z  
i,1Rd$7Fv  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) FW%v  
O'B-QDH  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) T3 ` *<-u  
QMWJEU'  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  |h )X}]a  
b8m*"Bl  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) `I+] j=  
NG-1"q3W  
倍角公式 P1Zm*>  
zE#hgayo  
　　Sin2A=2SinA•CosA %S:(9R@h  
JVhGLD  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 l9jTl-8R  
c!A0"E4@  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2）  "@k<nD  
=^c)CzAW2  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ^YU7hUF*  
uWKC^@6!@  
三倍角公式 ^-gK5I}  
6HE x$(  
　　 6Zjr.vS^  
s?: _2Kev  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) =3*F@*Rba  
r! PZJo5V  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) x&A2)}`2)  
WM]7\`o5  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) R&e98g  
gI10B'`gH4  
三倍角公式推导 *s7Sy<\  
Q~Q^ixW ,5  
　　sin3a +UtA6X&  
7k2(S;eM  
　　=sin(2a+a) =nC0eAnL  
UjfT;X /K*  
　　=sin2acosa+cos2asina 61"JJ,  
R<#af4 CN}  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina |LW1GJ|}  
lEN \b>  
　　=3sina-4sin³a \IT.df  
-lqR{C-w  
　　cos3a ]2>kU_2i  
~{z/P  
　　=cos(2a+a) $^9+CNI  
&9i?KrS0d  
　　=cos2acosa-sin2asina 8^(v&xt'@  
6;=`  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa j}sS~J  
y*<(r P  
　　=4cos³a-3cosa =.]zc5<  
6#0h/'=NO&  
　　sin3a=3sina-4sin³a Tm'u/k[;  
96[%+T  
　　=4sina(3/4-sin²a) }]C*gB4_H  
f"3(\[$H  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] p7x_&    
J?#P)P+  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) kT5~ CG  
E{PpauB4  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) !%$yUsT  
AE]ds>bF  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 8(&x{  
IbT7GW>iu  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ,80Gqv*rl_  
(M;wY  
　　cos3a=4cos³a-3cosa xg<2o\lp   
HEPA4  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 'aeaC&n  
7K{10f  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ![p?(gt  
oVphA:U  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) pA: HrBF+  
5o"pA}   
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) maZ G.  
65:>) 7&  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} W,nhiw a  
F@ (`^!*  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 3 REIuT  
 Ai]o0qR  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ${U3)@ {B  
+#Tn0+\~C  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 6 |'l}bc  
*U-N6$p  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) :f.hE6xSa  
X'qIF"  
　　上述两式相比可得 v?sOb-un  
e[ ptm=T  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) =ag3gZnT  
tg+ l.  
半角公式 uHYW4   
UZ[ =uhHhI  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); -x"31A  
9"gnII  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. *pmC3"<Zr  
w5[jB  
和差化积 Yl|Ss\  
zf=+ [5q[F  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] W!Vyv7  
f8H:ik5  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] OjUB=JG&  
77/x7s 3  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] "83BF-)>J4  
m{Ui.Jg  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] l)lv_>  
99wD>6'C  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) }1(|+!  
C8RRX%j+  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ]ATa_+  
:V?9:gC  
积化和差 Fu_7r D  
0)\@p0:Ci  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 1fCO0_: q  
\HvBTg D  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] lm-mZ \-  
3K0WG  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] dio}|l)  
C wr%GD:  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] =BN\0$+  
:R1v?9i  
诱导公式 u.Jbh*  
h1d27[3(D  
　　sin(-α) = -sinα >u!Cat-  
D,GAA#  
　　cos(-α) = cosα vs]x'%  
oO,:5c$|  
　　sin(π/2-α) = cosα 00}3>2#G  
oK)(o%7=}s  
　　cos(π/2-α) = sinα /EHNY<KF?  
+Wv OG>  
　　sin(π/2+α) = cosα 6htqlzU  
y8li:Y   
　　cos(π/2+α) = -sinα dp"^2T0  
mw=Ef  
　　sin(π-α) = sinα 4KWtz)  
DFpS[on  
　　cos(π-α) = -cosα %kZJ<ZDKu  
$*n7Ebi  
　　sin(π+α) = -sinα )(JJ 1  
I9Zy q  
　　cos(π+α) = -cosα 3OeT[4  
>U?&vuW:j  
　　tanA= sinA/cosA ?FaG;pR/  
N .'!<mP  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα gwfQdl6  
r~Y ,tJA  
　　tan（π/2－α）＝cotα lsvYj[<4W  
hiETaG  
　　tan（π－α）＝－tanα B</?SG*<D  
,}@GT:~6  
　　tan（π＋α）＝tanα ya{-@Ey  
jN;3yoIp4  
万能公式 =&@O2}dV  
f1l WKj  
　　 rGcz3sR:,  
#?fJ.s2  
其它公式 FyrMM8  
!)o;G(Xh  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 2IpdgA  
EBMx?2  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 Y<.-c4e  
{ 4e0{=y  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 M$xXhc?2Tb  
E@dn/  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 95(:j:q^M}  
#zrDn1yQ/  
　　对于任意非直角三角形,总有 KOQ* vEL  
~ $7EU |  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC AJw>?*  
,oGC@H# :  
　　证: a}XR( &S  
8Pb0(-s  
　　A+B=π-C oA2IK|K`  
3KffJaW  
　　tan(A+B)=tan(π-C) n8."[/<m  
zHqOG  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ":z oer  
f H}Oz  
　　整理可得 1gsk#e  
pBw4} VLiu  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ~ Ogo l  
nMd+al  
　　得证 ^?c'OC-_  
Q"oT&9JpB  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 1j*W5&A"  
m7DzJ_  
其他非重点三角函数 >,xV[R8y;  
5# o @FL  
　　csc(a) = 1/sin(a) <Kzv?&j":%  
Rg6RSZv  
　　sec(a) = 1/cos(a) ,d>6('jJ  
M;QQp  
　　 GcBWRhAm  
I#B1[?  
双曲函数 R.z}\s73n  
2@%uC_\  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 _3<[=IR(  
}Je aG%  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 fbR5wmJ  
S2fflBboC  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) */%R%%  
_(9~o  
　　公式一： 82/U\3_m  
KGvdSNsr6  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： m%|6/@D  
TIhsRtZH  
　　sin（2kπ＋α）= sinα Yr']q;-A  
aA4hoC:  
　　cos（2kπ＋α）= cosα I5&XM  
5dV6 3,Z(  
　　tan（kπ＋α）= tanα Ht>o!jFymR  
%mBOr\@  
　　cot（kπ＋α）= cotα F=n|(^#  
,t1p>yjQW  
　　公式二： C7l6LQ l  
{QL%{jFD  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： +, 2  
w8,_Sq  
　　sin（π＋α）= -sinα 'S"O0G,  
,CWicBa  
　　cos（π＋α）= -cosα 26b A%@V  
*Aq%*  
　　tan（π＋α）= tanα Fc-c5u_vv  
YBYNbl{#b  
　　cot（π＋α）= cotα 8^Icg2z\{  
^K@kIe4|  
　　公式三： 7#!Sal ]q  
;8fN;,h?  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： szL`t m  
"ZG~,2_s=V  
　　sin（-α）= -sinα Pcv0Z=s/  
cjI"ao:  
　　cos（-α）= cosα /"-<a0  
`[%5:/  
　　tan（-α）= -tanα Zu8i)4S  
i XS.}-Q)  
　　cot（-α）= -cotα KA Lw&F  
|*.bEl WN  
　　公式四： 4ZBN0  
g}nWS C  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： g1):JhL.:  
'Iverq  
　　sin（π-α）= sinα obax]9+  
NjE=V9  
　　cos（π-α）= -cosα H&0yP{q1Y  
mK |~E6Z[  
　　tan（π-α）= -tanα KjE *%+A  
tb6# Q%4  
　　cot（π-α）= -cotα 5 C0A*l,  
J(7S;mjf  
　　公式五： HG9H g%wul  
^SR @!S  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： w/CI==[n  
`83 6f[   
　　sin（2π-α）= -sinα E ZEZHL  
Up Lx"(;X  
　　cos（2π-α）= cosα ` K&-gZg  
fJ&}y&Nk+A  
　　tan（2π-α）= -tanα =+foF1zv  
$o+1olSS  
　　cot（2π-α）= -cotα -aiO1 Oy.  
``@%<  
　　公式六： *<Y?Q W\;M  
g[O<whbwy  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 8Y2X WZ4  
xy ^lfo  
　　sin（π/2+α）= cosα @mTw[TMg*  
yxR(aWQP  
　　cos（π/2+α）= -sinα V; Mj%}ts  
*pXwq&35  
　　tan（π/2+α）= -cotα YcwOm&rDr  
zJl :u %  
　　cot（π/2+α）= -tanα /KQ$GK'  
oU"GV~ro  
　　sin（π/2-α）= cosα XCZcG 'yJ6  
]f7yR:  
　　cos（π/2-α）= sinα H26R;520g<  
Cc"w$ph$}  
　　tan（π/2-α）= cotα -5 >UU3V  
2do?(Uvp  
　　cot（π/2-α）= tanα \3CmCjO Zy  
FY]wLEb21  
　　sin（3π/2+α）= -cosα c_h bU:  
Y-C^DqU  
　　cos（3π/2+α）= sinα , n9II3  
Q1Sxy}N ]  
　　tan（3π/2+α）= -cotα *@=7f<_k  
&K5g2m(g  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 9-/mC"'6y  
cTqW=Ak?%  
　　sin（3π/2-α）= -cosα >7$o>vSA|  
y^sdg!<tO{  
　　cos（3π/2-α）= -sinα as3s9  
oi@na_aW  
　　tan（3π/2-α）= cotα r~gy*MWG%  
ZQBYr19  
　　cot（3π/2-α）= tanα oT(ej7+j  
qR'2=F[m*3  
　　(以上k∈Z) ~r9k `Z8$w  
PD?ac   
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 0 =S%_c  
Q}q!   
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ebs~D[["<  
T~(>v Z  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } &[coS]Ulw  
jMS$v=@-  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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