三角函数内容规律 [;n2ms
;Hf{ fP$
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在.
%AcH^5
=R"F{tZJk
1、三角函数本质: <pbsd;[
*uq"47
三角函数的本质来源于定义 zw}x5
j
Q\0h4v8M?%
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 O2$T0T6[
evJ!]tT8U
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 G1eH\wT"|
XdB]yTBo<
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: "yZcY+y
9EU<A
r) P
推导: ]2B].c
Ob~BzgaVoZ
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 oit^.$zLj
6e#H/\
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Nm`R/J^k,
%t 1);)VW
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) X\]zN|^?
>1QMrh5zQ#
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 f4NN.{VV
pvOBxIsU
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) LDIrc|a}
4k!W[-xZ
[1] *m~6n gr
FVgMx@r
两角和公式 aKsrf${\
o *9e?g<
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ;Clb!8o#
+eNe,
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB :R]vV
U
Q%>Uu
^h
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB +:kwpT|J^
mFeJ5]G[IC
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB sh7DkOU6z
i,1Rd$7Fv
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) FW%v
O'B-QDH
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) T3 `*<-u
QMWJEU'
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) |h)X}]a
b8m*"Bl
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) `I+]
j=
NG-1"q3W
倍角公式 P1Zm*>
zE#hgayo
Sin2A=2SinA•CosA %S:(9R@h
JVhGLD
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 l9jTl-8R
c!A0"E4@
tan2A=2tanA/(1-tanA^2)
"@k<nD
=^c)CzAW2
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) ^YU7hUF*
uWKC^@6!@
三倍角公式 ^-gK5I}
6HE
x$(
6Zjr.vS^
s?:
_2Kev
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) =3*F@*Rba
r!
PZJo5V
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) x&A2)}`2)
WM]7\`o5
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) R&e98g
gI10B'`gH4
三倍角公式推导 *s7Sy<\
Q~Q^ixW
,5
sin3a +UtA6X&
7k2(S;eM
=sin(2a+a) =nC0eAnL
UjfT;X/K*
=sin2acosa+cos2asina 61"JJ,
R<#af4
CN}
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina |LW1GJ|}
lEN \b>
=3sina-4sin³a \IT.df
-lqR{C-w
cos3a ]2>kU_2i
~{z/P
=cos(2a+a) $^9+CNI
&9i?KrS0d
=cos2acosa-sin2asina 8^(v&xt'@
6;=`
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa j}sS~J
y*<(rP
=4cos³a-3cosa =.]zc5<
6#0h/'=NO&
sin3a=3sina-4sin³a Tm'u/k[;
96[%+T
=4sina(3/4-sin²a) }]C*gB4_H
f"3(\[$H
=4sina[(√3/2)²-sin²a] p7x_&
J?#P)P+
=4sina(sin²60°-sin²a) kT5~CG
E{PpauB4
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) !%$yUsT
AE]ds>bF
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 8(& x{
IbT7GW>iu
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ,80Gqv*rl_
(M;wY
cos3a=4cos³a-3cosa xg<2o\lp
HEPA4
=4cosa(cos²a-3/4) 'aeaC&n
7K{10f
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ![p?(gt
oVphA:U
=4cosa(cos²a-cos²30°) pA:HrBF+
5o"pA}
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) maZ G.
65:>)
7&
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} W,nhiw
a
F@(`^!*
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 3 REIuT
Ai]o0 qR
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ${U3)@ {B
+#Tn0+\~C
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 6
|'l}bc
*U-N6$p
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) :f.hE6xSa
X'qIF"
上述两式相比可得 v?sOb-un
e[ ptm=T
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) =ag3gZnT
tg+l.
半角公式 uHYW4
UZ[ =uhHhI
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); -x"31A
9"gnII
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. *pmC3"<Zr
w5[jB
和差化积 Yl|Ss\
zf=+
[5q[F
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] W!Vyv7
f8H:ik5
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] OjUB=JG&
77/x7s
3
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] "83BF-)>J4
m{Ui.Jg
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] l)lv_>
99wD>6'C
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) }1(|+!
C8RRX%j+
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ]ATa_+
:V?9:gC
积化和差 Fu_7r D
0)\@p0:Ci
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 1fCO0_: q
\HvBTg
D
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] lm-mZ\-
3K0WG
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] dio}|l)
C wr %GD:
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] =BN\0$+
:R1v?9i
诱导公式 u.Jbh*
h1d27[3(D
sin(-α) = -sinα >u!Cat-
D,GAA#
cos(-α) = cosα vs]x'%
oO,:5c$|
sin(π/2-α) = cosα 00 }3>2#G
oK)(o%7=}s
cos(π/2-α) = sinα /EHNY<KF?
+WvOG>
sin(π/2+α) = cosα 6htqlzU
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cos(π/2+α) = -sinα dp"^2T0
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sin(π-α) = sinα 4KWtz)
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cos(π-α) = -cosα %kZJ<ZDKu
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sin(π+α) = -sinα )(J J 1
I9Zyq
cos(π+α) = -cosα 3OeT[4
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