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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 Qd##?(Gs.  
SGV1 2*P  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. DCho;E;  
!NG\ @.'  
　　1、三角函数本质： 6|yP^,  
7]LBlY   
　　三角函数的本质来源于定义 `)<< H|(  
"CA)&xXZ  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 g<pU>`~x  
#6,oA/V49  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 57QEX?!  
.'.-7{E  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ,9-GL{;  
G&HB;+sb  
　　推导： &:[mh-_Du  
lf+SOsG  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 XGP[ &+  
e^4 'M  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) >A;E2,sh.  
fqey~  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 1fREby/0<  
}q(SgMy$  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 l>nsL :z*  
c 3zsl1t  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） [J2P>Hd -  
CIo}xf]q  
　　[1] .y}>y"  
@%c*AK|%  
　　两角和公式 ~S N ']m  
m Lk5.Q~1  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB !IN44  
pQf<Da  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  >c ^ER#x8  
@lEr09v6  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB HA"5[#`  
U: -q%#  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ,lD@" yl  
/l ?8,h&  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ;V^@}C+  
|**uc{3  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) k  @ /gg-  
'Oo  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  PRp-^l.D#p  
`68[J  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 4b qjG^7  
M zkKfMB  
倍角公式 &p>1Hf  
{UDu&"   
　　Sin2A=2SinA•CosA R_s KN  
Bj"xK,x  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 uhcV0/EGC  
0!d?NlM  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 0 QYSK  
9,:S I4;.  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） SY:5qps pj  
):y?_  
三倍角公式 :;7jSx "&  
KB-a5~+<S`  
　　 vU+!t3J$  
"\"MYE*)  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) I y'1W+  
#WBmwa)  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) yP ;G  
Hd?t(C~f  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) EU#ym#1Cv  
dFRLX &!:  
三倍角公式推导 -~cLw4.n'  
NuG f0!AF  
　　sin3a pz2:&]wC  
]DTR$1|[p~  
　　=sin(2a+a) &D\5joF}  
2RcxA~z  
　　=sin2acosa+cos2asina @/hg$$9  
@dTBo8P  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina PBb1 O#}  
chMQ  
　　=3sina-4sin³a o9)<;ui  
[9l=":u  
　　cos3a 1@>*#)[  
w-:GrUiN|  
　　=cos(2a+a) f0al% 5Xs>  
.Qxh@  
　　=cos2acosa-sin2asina D?tm)Sn  
;]5/^8,xC  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa A%r0 }6.?  
SL!S  
　　=4cos³a-3cosa ] (c}Rd  
g %zU=/1  
　　sin3a=3sina-4sin³a qb^2{PR  
/bo:Tj&$D  
　　=4sina(3/4-sin²a) Q},/e~  
\{b.YoOg  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] eNiJn1+ z  
X%b.{W0  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) Qq.!UPni6q  
h1<X^asE  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) |H  j-;,  
C%{0>}^} w  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 8cE X}S  
Xf6vj[\I  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ]pctul8'N  
% `4di K  
　　cos3a=4cos³a-3cosa >!9Gz?h  
V8h5ynBNe  
　　=4cosa(cos²a-3/4) HJa@[2 r  
7Nz?%lD$  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] FeDL`0x  
n)Qa@Wm>  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Y %AH^  
?rQ}Of/O  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) VWn$iFA  
p"Dcb(e0  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} -`*>| H]I  
n9yFstJ  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) _(nd BO  
_-peR2kP  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =#E7?J'/5  
k ""w& B  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ;oASDH  
:anuW'  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) U yX`b ~  
hv{Gh8j`:  
　　上述两式相比可得 1c2Pk()EGs  
1x8"x/ U  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) tGJ B[r_  
E9TTr@b1cH  
半角公式 7$5U`. O  
y<'2/e)  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); oa SL_qzU  
3E$z7=o  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. hid 0_OM  
@|*pEx.*  
和差化积 GLn=;1DV  
,@y8 Il  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 5q_ K~-  
> T (C4kL  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] (tgU|4X  
o9P 85$Bgv  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] <%P{d;LoE  
Y<)f2ewdw.  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] & al5EGr  
FDy2ja;N  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) o$!'@ G  
at;mf(W  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) _b=Udg  
{~8U^E"i#  
积化和差 >m[Teo/G  
&JwY4-  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] .31NyxJqf  
4,)@rnV2  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] kWP1^G$  
" <1ED!@g  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 7HRba%Jv  
b Y|XOuQ  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] K@wCIre.  
G=}ipLCq]~  
诱导公式 T ISC( P  
`1?S-Fj</>  
　　sin(-α) = -sinα tq}:}2S  
E_MFZzfs  
　　cos(-α) = cosα k5~A:Xx{u{  
M/z"^,qs9  
　　sin(π/2-α) = cosα SLnV sny4  
vCMq> kX)  
　　cos(π/2-α) = sinα V(~.j i  
T0NE+Et9^:  
　　sin(π/2+α) = cosα PLzC )P  
tdridGs  
　　cos(π/2+α) = -sinα ('D't&kV  
"mI<,2U  
　　sin(π-α) = sinα >bx1]-%/  
Hs 4.XR  
　　cos(π-α) = -cosα sr1D0  
d7:S'uT  
　　sin(π+α) = -sinα 4m83 56T)_  
F/_\_"V  
　　cos(π+α) = -cosα xL@Eb& (y  
Mx zt|3x  
　　tanA= sinA/cosA RTl8Q J  
" [ ezrGg  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα k;{},`)e'  
G{F(` /o  
　　tan（π/2－α）＝cotα 6<6sLs*  
Zur4hZHE  
　　tan（π－α）＝－tanα sozyHOd=  
J?.:a0!  
　　tan（π＋α）＝tanα I"O-=Nh.O  
%D}FHd % c  
万能公式 d[2 `  
{`5jkZsz  
　　 c@|u`!iL<  
E4%+a8g_x  
其它公式 b[v@h1$s  
@CZn+nEs  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 (>%f\2  
p'Zx|6dJkS  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ^=44HA  
&QMiPW  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 J?;Hc*7y  
432W[#<]n  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 `QhvnTQ  
q+A;'{d$&)  
　　对于任意非直角三角形,总有 SG b32H7UL  
.eiUqI 9  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC L8 `e. }  
it XKv]  
　　证: B[S7'VkD0)  
a9]H4Ms?P  
　　A+B=π-C K'~,zYP  
D|[b3J'  
　　tan(A+B)=tan(π-C) L0}bVpu(  
CyN8drb(J  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ks\MM4h+  
~hU 3  
　　整理可得 ,5#!GsXK  
r&uZ "M^  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC O_H] >|  
XS|~y9t  
　　得证 /.b,f_S  
NMo"|%uq  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ZBz'WNi,"  
A@m2  
其他非重点三角函数 H zrqSD  
@:RAqy,  
　　csc(a) = 1/sin(a) x;ib*?4  
y?{=ir  
　　sec(a) = 1/cos(a) h_sslz  
i(#<z@  
　　 M3^G6D3b  
i*m:<wu  
双曲函数 od S~]aP  
c %\@w<Fi  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 =us}g.Ez  
&gVa0o'PS  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 Hy_C7UsP  
d&XKVsmO5;  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) =7y^u(MQt  
<: B4 >5  
　　公式一： tTuRx> yl  
y i;wr  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： C !LNNod-  
[T*T7 KVK  
　　sin（2kπ＋α）= sinα dI@iXD@.  
7h)@#;O%  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 7tnTDs/O  
1IzN}  
　　tan（kπ＋α）= tanα "@(r BA$h  
nh _G d  
　　cot（kπ＋α）= cotα #~'P ni}5  
6*n (^gI0)  
　　公式二： j#d]8{5<N  
d:=YR`-j  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： KUCuBL+[  
LA@j+bq  
　　sin（π＋α）= -sinα {Mqw:}#S  
*PJpoQ eD  
　　cos（π＋α）= -cosα ea1]1yA  
7,=5'{9>$  
　　tan（π＋α）= tanα _Pf)z,-7l!  
u*j0yA<E  
　　cot（π＋α）= cotα hkVGX^,  
V_`,P%tp\  
　　公式三： r:]!di  
a]CMg\(-  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： <vGj@w  
\~}ds u  
　　sin（-α）= -sinα $n(7j=Gq,  
G. h:jP4V  
　　cos（-α）= cosα "0n)wH:z  
c rN)C0  
　　tan（-α）= -tanα W.nDt{  
WJ}K:_Ef  
　　cot（-α）= -cotα P7>jiuQn  
R7P~ |zH  
　　公式四： /-E_#dc*  
= J_R!9  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ^ L\m YP_  
Pn:qO'QC  
　　sin（π-α）= sinα xDfP|Co H  
H!Np=wr'  
　　cos（π-α）= -cosα FGj 1 E,'  
_i&/S@U$  
　　tan（π-α）= -tanα 78.?#b_0?  
@@oV|m  
　　cot（π-α）= -cotα P~989l~v"  
p}z|Z}n|t  
　　公式五： f\0<%DJ&+  
pB$VCg# 1  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： mqtz${P  
mKfTXx!%  
　　sin（2π-α）= -sinα Q`YZyDU  
*= EN0<.,  
　　cos（2π-α）= cosα ]+g11p2 J  
7%$6Q 7t)  
　　tan（2π-α）= -tanα gee"5t}  
$g3ug{BpH  
　　cot（2π-α）= -cotα Vh b,U bN  
(G?#v|@  
　　公式六： q@X6  
)LBf=(  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：  9MFfL  
QQ TV;  
　　sin（π/2+α）= cosα .W6wmEXsi  
d;Y"9&M  
　　cos（π/2+α）= -sinα 8{< /U6jc  
p3E<%&{&%  
　　tan（π/2+α）= -cotα qyNt?6AA7  
$\R|x>  
　　cot（π/2+α）= -tanα r~lmU  
GD @| I  
　　sin（π/2-α）= cosα rR^`$ O&  
60Ni  
　　cos（π/2-α）= sinα 8r%+XE\&  
,;Ul  
　　tan（π/2-α）= cotα M "L:O  
ise0 A,  
　　cot（π/2-α）= tanα v i8q  
*|dl##50#  
　　sin（3π/2+α）= -cosα )1og|:}  
+eURe [  
　　cos（3π/2+α）= sinα XY[?Q ~-  
k+8j.<<  
　　tan（3π/2+α）= -cotα JxG1zoxh  
(0zWz%OOlf  
　　cot（3π/2+α）= -tanα vXL(<4/  
5IuczOTh  
　　sin（3π/2-α）= -cosα uxqE/iHT  
]L |4R.YV  
　　cos（3π/2-α）= -sinα :^/bq/`  
L>3Ez@  
　　tan（3π/2-α）= cotα b <K"  
yvg?dQd  
　　cot（3π/2-α）= tanα F7RGBDU#  
Nre&y] rzU  
　　(以上k∈Z) IqI{ 84  
gw%qh.g  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 r"%;B7y  
UA\F*X.  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = pL_DJ%w  
3HHkiQsWe  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } \$IRB;3  
"};sxfbP  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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